如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点逆时针旋转，交于点，连结BD、DC、CE

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1. 如图1， $\text{[math]}$ 是等腰 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结BD、DC、CE

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，

①求 $\text{[math]}$ 的值．

②当 $\text{[math]}$ 的度数与 $\text{[math]}$ 的度数之比为3时，求BD：DC的值．

【考点】

相似三角形的判定-AA; 圆与三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为．

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，在（2）的条件下，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求线段 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

2. 如图 1，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ 为直径， $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图 2，连结 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图 3，在 (2) 的条件下，连结 $\text{[math]}$ ．

①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

②求 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题困难

3. 如图 1， $\text{[math]}$ 为锐角三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．

(1) 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图 2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径．

①当 $\text{[math]}$ 的长为 2 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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