如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标是（0，6），连接AB.若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒.

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1. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标是（0，6），连接AB.若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点A运动，设运动时间为t秒.

(1) 求线段AB的长.

(2) 连接OP，当△OBP为等腰三角形时，过点P作线段AB的垂线与直线OB交于点M，求点M的坐标；

(3) 已知N点为AB的中点，连接ON，点P关于直线ON的对称点记为P'(如图2)，在整个运动过程中，若P'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出t的取值范围。

【考点】

轴对称的性质; 三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在等边 $\text{[math]}$ 中，D、E分别为 $\text{[math]}$ 边、 $\text{[math]}$ 边上的一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，D、E分别在 $\text{[math]}$ 边、 $\text{[math]}$ 边边的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 在（2）的情况下，如图3，将 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于M；将 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

综合题困难

2. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条角平分线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 如图2，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 如图3，在（2）问的条件下， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点运动到 $\text{[math]}$ 点时，点 $\text{[math]}$ 所经过的路径长.

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .设点F运动的时间为t秒.

(1) 判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系和数量关系，并求出 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ .

①点F由点A向点C匀速运动的过程中，则线段 $\text{[math]}$ 所扫过区域的面积为 ▲ ；

②若 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，直接写出t的值.

综合题困难