一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知满足，我们把青蛙从开始，经次跳动的位置依次记作．

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1. 一只青蛙，位于数轴上的点 $\text{[math]}$ ，跳动一次后到达 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，我们把青蛙从 $\text{[math]}$ 开始，经 $\text{[math]}$ 次跳动的位置依次记作 $\text{[math]}$ ．

(1) 写出一个 $\text{[math]}$ ，使其 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 对于整数 $\text{[math]}$ ，如果存在一个 $\text{[math]}$ 能同时满足如下两个条件：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

整式的加减运算; 探索数与式的规律; 加减消元法解二元一次方程组;

【答案】

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综合题困难

1. 观察以下等式：

第1个等式： $\text{[math]}$

第2个等式： $\text{[math]}$

第3个等式： $\text{[math]}$

第4个等式： $\text{[math]}$

第5个等式： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

按照以上规律，解决下列问题：

(1) 写出第7个等式：；

(2) 写出你猜想的第 $\text{[math]}$ 个等式：（用含 $\text{[math]}$ 的等式表示），并证明.

综合题普通

2. 观察下面各式的规律：

1²+（1×2）²+2²＝（1×2+1）²；

2²+（2×3）²+3²＝（2×3+1）²；

3²+（3×4）²+4²＝（3×4+1）²；

…

(1) 写出第2021个式子；

(2) 写出第n个式子，并验证你的结论．

综合题普通

3. 观察下列等式：

第1个等式： $\text{[math]}$ ；

第2个等式： $\text{[math]}$ ；

第3个等式： $\text{[math]}$ ；

…

按照以上规律，解决下列问题：

(1) 写出第4个等式：；

(2) 写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明．

综合题普通