如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

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1. 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1) 【课本再现】

第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD ，使AD与BC重合，折痕为EF ，把纸片展平；

第二步：在AD上选一点 $\text{[math]}$ ，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点 $\text{[math]}$ 处，连接PM ， BM ，根据以上操作，当点 $\text{[math]}$ 在EF上时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比应用】

如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点 $\text{[math]}$ ，连接BQ ，当点 $\text{[math]}$ 在EF上时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 【拓展延伸】

在（2）的探究中，正方形纸片的边长为4cm，改变点 $\text{[math]}$ 在AD上的位置（点 $\text{[math]}$ 不与点A ， D重合），沿BP折叠纸片，使点 $\text{[math]}$ 落在矩形内部的点 $\text{[math]}$ 处，连接PM ， BM ，并延长PM交CD于点 $\text{[math]}$ ，连接BQ ，当 $\text{[math]}$ 时，请求出AP的长.

【考点】

矩形的判定; 正方形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B在反比例函数 $\text{[math]}$ （k为常数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图像上，点D在反比例函数 $\text{[math]}$ （k为常数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n.

(1) 已知四个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰有三个点在反比例函数 $\text{[math]}$ （k为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图像上.

① $\text{[math]}$ __________；

②如图1，当正方形 $\text{[math]}$ 的顶点A与点O重合时，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由；

(2) 如图2，当正方形 $\text{[math]}$ 的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式.

实践探究题困难