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1.

(1) 【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F， G.

①判断△AFG的形状并说明理由.

②求证： BF=20G.

(2) 【迁移应用】

记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值

(3) 【拓展延伸】

若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面

积为矩形ABCD面积的 $\text{[math]}$ 时，请直接写出tan∠BAE的值.

【考点】

等腰三角形的判定; 矩形的性质; 相似三角形的判定; 四边形的综合; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 $\text{[math]}$ 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $\text{[math]}$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 $\text{[math]}$ 上，点B的对应点为点E，折痕为 $\text{[math]}$ ；再沿过点F的直线折叠，使点C落在 $\text{[math]}$ 上，点C的对应点为点H，折痕为 $\text{[math]}$ ；然后连结 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题解决】

小亮对上面 $\text{[math]}$ 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，

∴ $\text{[math]}$ ．

由折叠可知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

请你补全余下的证明过程．

(2) 【结论应用】

$\text{[math]}$ 的度数为度， $\text{[math]}$ 的值为；

(3) 在图①的条件下，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点Q在线段 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如图②，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．（用含a的代数式表示）

实践探究题困难

2. 如图1，木匠陈师傅现有一块五边形 $\text{[math]}$ 木板，它是矩形 $\text{[math]}$ 木板用去 $\text{[math]}$ 后的余料， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在 $\text{[math]}$ 上．

(1) [初步探究]

当 $\text{[math]}$ 时．

①若截取的矩形有一边是 $\text{[math]}$ ，则截取的矩形面积的最大值是______；

②若截取的矩形有一边是 $\text{[math]}$ ，则截取的矩形面积的最大值是______；

(2) [问题解决]

如图2，陈师傅还有另一块余料， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离为4，若以 $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 中点为原点构建直角坐标系，则曲线 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形 $\text{[math]}$ 材料，其中一条边在 $\text{[math]}$ 上，所截矩形 $\text{[math]}$ 材料面积是 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通

3. 已知正方形ABCD ，将边AB绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至线段AE ， ∠DAE的平分线所在直线与直线BE相交于点F ．

(1) 【探索发现】

如图1，当 $\text{[math]}$ 为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【深入探究】

在（1）的条件下， ①∠DEB的度数为；②连接CF ，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；

(3) 【拓展思考】

若正方形的边长 $\text{[math]}$ ，当以点C ， F ， D ， E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．

实践探究题困难