如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，作 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相切，切点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的半径；

(2) 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，请求出 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一个动点，连接 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．在点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【考点】

含30°角的直角三角形; 平行四边形的判定与性质; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 如图放置，其中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，圆心 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的距离为5．

(1) 若 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度向右移动， $\text{[math]}$ 不动，则经过时间 $\text{[math]}$ 的边与圆第一次相切？

(2) 若两个图形同时向右移动， $\text{[math]}$ 的速度为每秒2个单位， $\text{[math]}$ 的速度为每秒1个单位，则经过多少时间 $\text{[math]}$ 的边与圆第一次相切？

(3) 若两个图形同时向右移动， $\text{[math]}$ 的速度为每秒2个单位， $\text{[math]}$ 的速度为每秒1个单位，同时 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ 分别以每秒 $\text{[math]}$ 个单位沿 $\text{[math]}$ 方向增大．求当 $\text{[math]}$ 的边与圆第一次相切时，点 $\text{[math]}$ 运动了多少距离？

解答题普通

2. 在一个阳光明媚的上午，数学陈老师组织学生测量小山坡的一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°（∠MON=30°），站立在水平面上身高1.5米的小明AB在地面的影长BP为1米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为4米，求大树的高度。

解答题普通

(1) 如图甲所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，与AB，AC分别交于D，E两点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交BC于点 $\text{[math]}$ .请按图示数据填空：四边形DBFE的面积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ .

(2) 在第(1)题中，若 $\text{[math]}$ 与BC间的距离为 $\text{[math]}$ ，请证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

(3) 如图乙所示，▱DEFG的四个顶点在 $\text{[math]}$ 的三边上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为2，5，3，试利用(2)中的结论求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题困难