已知和（且）是同一直角坐标系中的两条抛物线．

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1. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）是同一直角坐标系中的两条抛物线．

(1) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 与坐标轴的交点个数，并说明理由；

(3) 如果对于抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

二次函数图象与系数的关系; 二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数与不等式（组）的综合应用;

【答案】

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解答题普通

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 填空：抛物线的对称轴为 $\text{[math]}$ _________，点B的纵坐标为__________（用含a的代数式表示）；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正方向所夹的角为 $\text{[math]}$ 时，抛物线在 $\text{[math]}$ 轴上方，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 抛物线在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的部分为图象 $\text{[math]}$ （包含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点），若对于图象 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 均为正整数， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，其中 $\text{[math]}$ 至原点的距离均小于1．

(1) 比较： $\text{[math]}$ 0； $\text{[math]}$ 0

(2) 求 $\text{[math]}$ 的最小值，并给出一组符合要求的 $\text{[math]}$

解答题普通

3. 如图，若 $\text{[math]}$ 是正数，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ；直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ；抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴右交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值，并求此时 $\text{[math]}$ 的对称轴与直线 $\text{[math]}$ 的交点坐标．

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 下方时，求点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值．

(3) 在 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，请分别求出b=2022和b=2022.5时“美点”的个数．

解答题困难