定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”．

1. 定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”．

(1) 下列三角形中，不存在“完美分割线”的是（只填写序号）．

①等边三角形；②顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形；③等腰直角三角形．

(2) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图1，已知 $\text{[math]}$ 的一条完美分割线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长度；

(3) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 被“完美分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；

(4) 如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．若射线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“完美分割线”．求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理;

【答案】

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