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(1) 如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点C在 $\text{[math]}$ 上，点D在线段 $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，点C是线段 $\text{[math]}$ 外一动点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

①若将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值 ▲ ；

②若以 $\text{[math]}$ 为斜边作 $\text{[math]}$ ，（B、C、D三点按顺时针排列）， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

旋转的性质; 三角形的综合; 瓜豆原理模型-点在圆上; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：

(1) ① $\text{[math]}$ 的度数是；

②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出 $\text{[math]}$ 的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段AD的长度．

综合题困难

2. 问题背景

(1) 如图（1）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ 可以由 $\text{[math]}$ 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．

(2) 尝试应用

如图（2）．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以AC ， AB为边，作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接ED ，并延长交BC于点F ，连接BD ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 拓展创新

如图（3）．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段AC绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段AP ，连接PB ，直接写出PB的最大值．

综合题困难

3. 如图1 ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点(不与点 $\text{[math]}$ 重合)，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) （发现问题）

如图1 ，通过图形旋转的性质，可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 度；

(2) （解决问题）

如图1，证明 $\text{[math]}$ ；

(3) （拓展延伸）

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一点，且 $\text{[math]}$ ，仍将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

若 $\text{[math]}$ 求的 $\text{[math]}$ 长．

综合题困难