如图①，抖空竹是一项传统体育运动，是国家级非物质文化遗产之一.小雨对抖空竹的过程进行了研究，如图②，空竹⊙O 落下时与线AB，CD 分别相切于点 E，F，AB 与 CD 相交于点G，A，B，C，D，O在同一平面内.已知⊙O的半径为1， ∠D，BC∥EF.

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1. 如图①，抖空竹是一项传统体育运动，是国家级非物质文化遗产之一.小雨对抖空竹的过程进行了研究，如图②，空竹⊙O 落下时与线AB，CD 分别相切于点 E，F，AB 与 CD 相交于点G，A，B，C，D，O在同一平面内.已知⊙O的半径为1， $\text{[math]}$ ∠D，BC∥EF.

(1) 求证：△EFG为等边三角形；

(2) 若F为 CD的中点，求AB 的长.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 切线长定理; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上任意一点，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长（结果用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

综合题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在AC边上， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的外心在直线DE上时， $\text{[math]}$ ，求AE的长．

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= $\text{[math]}$ ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

(1) 求证：点E到AC的距离为一个常数；

(2) 若AD= $\text{[math]}$ ，当a=2时，求T的值；

(3) 若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

综合题普通