如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

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1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 及抛物线的表达式；

(2) 在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 以点 $\text{[math]}$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一个动点，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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解答题困难

定义：如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 $\text{[math]}$ ，则称点P为抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点。

(1) 直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点的坐标；

(2) 如图2，已知抛物线C： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A，B两点，点P（1， $\text{[math]}$ ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

(3) 在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 $\text{[math]}$ 的点Q（异于点P）的坐标

解答题困难

2. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点(4，2).点 P 在这条抛物线上，且点 P 的横坐标为m，过点 P 作 PQ⊥y轴，点 Q 的横坐标为2-4m.

(1) 求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标.

(2) 作以 P 为圆心、半径长为3的⊙P，当⊙P与x轴相切时，求点 P 的坐标.

(3) 当线段 PQ被抛物线分成1：2 两部分时，求 m的值.

(4) 过点 P 作 $\text{[math]}$ 轴，点 M 的纵坐标为m+2，且点 M 与点 P 不重合，连结 MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x 的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

解答题困难

3. 如图，已知抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6），且与直线 $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；

(3) 在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．

解答题普通