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1. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式如图 ， 在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图图中阴影部分面积可表示为： ， 图中阴影部分面积可表示为 ， 因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：

【拓展探究】图是一个长为 ， 宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．

(1) 用两种不同方法表示图中阴影部分面积：方法：，方法：；
(2) 由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是；
(3) 若 ， ， 则；
(4) 【知识迁移】如图 ， 正方形和正方形边长分别为 ， ， 若 ， ， 是的中点，则图中的阴影部分面积的和是．
【考点】
完全平方公式的几何背景; 平方差公式的几何背景; 三角形的面积; 多边形的面积;
【答案】

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实践探究题 普通
能力提升
换一批
1. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．

图1                       图2                              图3                                          图4

（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式 ．

图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　 ．

其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．

例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．

方法一：从“数”的角度

解：∵a+b＝3，             

∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，

又∵ab＝1               

∴a2+b2＝7．

方法二：从“形”的角度

解：∵a+b＝3，            

∴S大正方形=9，

又∵ab＝1，             

∴S2＝S3＝ab＝1，

∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．

类比迁移：

（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝　　；

（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
实践探究题 普通
2. 在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．

(1) 如图，大正方形的边长为 ， 直接写出下到结果．

①中间小正方形的边长；

②用含 ， 的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的倍．
(2) 当 ， ． 求的值．
(3) 若当 ， 时，的值唯一确定，用含的代数式表示 ．
实践探究题 普通
3. 【知识生成】

通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．

   

例如：如图①是个长为 ， 宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

（1）请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积：

方法1：____________；方法2：____________；

由此可以得出之间的等量关系是____________；

【知识迁移】

类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．

（2）如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式；

（3）已知 ， 利用（2）的结论求的值．
实践探究题 普通