如图，正方形中，， E为边上一点，，连接，．点为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到，连接．

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1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一个动点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 折叠，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，求 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，已知四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正方形．

(1) 如图1所示，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是______，位置关系是______；

(2) 将正方形 $\text{[math]}$ 从图1位置开始绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，如图2所示，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点P，连接 $\text{[math]}$ ，当角 $\text{[math]}$ 发生变化时， $\text{[math]}$ 的度数是否发生变化？若不变化，求出 $\text{[math]}$ 的度数；若发生变化，请说明理由；

(3) 在（2）的条件下，如图3，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点Q，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为______．

解答题困难

2. （1）【问题发现】①如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中点，连接 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 的面积和周长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积和周长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．（填“>”，“<”或“ $\text{[math]}$ ”）

②如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是．

（2）【问题延伸】如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的长度为6，求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

（3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现计划将点 $\text{[math]}$ 处设置为公园的入口，在 $\text{[math]}$ 边上设置一个出口 $\text{[math]}$ ，并修建一条贯穿整个公园的小路 $\text{[math]}$ ．根据规划，要求小路 $\text{[math]}$ 将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）