几何探究题

1. 几何探究题

(1) 发现：在平面内，若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

当点 $\text{[math]}$ 在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为 ▲ ；

当点 $\text{[math]}$ 在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为 ▲ .

(2) 应用：点 $\text{[math]}$ 为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接CD、BE.

①证明： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则线段CD长度的最大值为 ▲ ．

(3) 拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线AB外一动点，且 $\text{[math]}$ ．请直接写出线段AM长的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【考点】

等腰三角形的性质; 等边三角形的性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS; 手拉手全等模型;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点A，D在 $\text{[math]}$ 的同侧，点B，C在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O，已知 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（ $\text{[math]}$ 保持不动），旋转角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 数学思考：“求索小组”的同学发现图1中 $\text{[math]}$ ，请证明这个结论；

(2) 操作探究：如图2，当 $\text{[math]}$ 时，“笃行小组”的同学连接线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．

A．①猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 时，C，E两点间的距离；

B．①猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的位置关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点F落在 $\text{[math]}$ 延长线时，C，F两点间的距离．

实践探究题困难

2. 在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与 $\text{[math]}$ 相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ．

(1) 【发现问题】如图27，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；

(2) 【探究猜想】如图28，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；

(3) [拓展应用]如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是线段BC上的任意一点连接AP ，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ ，连接CQ ，请求出线段CQ长度的最小值．

实践探究题困难

3. 两个等腰三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 所在的直线上 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 问题一：当 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上移动时，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由；

(2) 问题二：当 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 还在线段 $\text{[math]}$ 上移动，此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由；

随着探究的深入，得出一些基本的结论：当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上移动，所处的位置不同， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可能的数量关系是什么？ $\text{[math]}$ 直接写出数量关系即可 $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难