综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点A，D在的同侧，点B，C在线段上，连接并延长交于点O，已知．将从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（保持不动），旋转角为．

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1. 综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点A，D在 $\text{[math]}$ 的同侧，点B，C在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点O，已知 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（ $\text{[math]}$ 保持不动），旋转角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 数学思考：“求索小组”的同学发现图1中 $\text{[math]}$ ，请证明这个结论；

(2) 操作探究：如图2，当 $\text{[math]}$ 时，“笃行小组”的同学连接线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．

A．①猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 时，C，E两点间的距离；

B．①猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的位置关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点F落在 $\text{[math]}$ 延长线时，C，F两点间的距离．

【考点】

旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与 $\text{[math]}$ 相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ．

(1) 【发现问题】如图27，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；

(2) 【探究猜想】如图28，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；

(3) [拓展应用]如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是线段BC上的任意一点连接AP ，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ ，连接CQ ，请求出线段CQ长度的最小值．

实践探究题困难