司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接．

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1. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点 $\text{[math]}$ ），过点E作 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点M，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 圆心角、弧、弦的关系; 圆周角定理; 切线的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，直径 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E，过点D作 $\text{[math]}$ 的切线，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，且 $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F．

(1) 如图①，若E为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小；

(2) 如图②，过点E作 $\text{[math]}$ 的切线，分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交于点G，H，若 $\text{[math]}$ 的半径为6， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，我们给出如下定义：对于两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，平面直角坐标系中存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”．例如：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”．

(1) 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．下列是线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”的有；

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$

(2) 如图2，已知直线 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若x轴上存在线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”，求m的取值范围；

(3) 如图3，二次函数 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、B两点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方一点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 奇妙点”，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题普通