如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，ZOMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移.设△ABC平移时间为t(s)(02).

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1. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，ZOMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移.设△ABC平移时间为t(s)(0²).

(1) 求等边△ABC的边长；

(2) 当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3) 点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形?若存在，直接写出此时t值；若不存在，请说明理由.

【考点】

等边三角形的性质; 勾股定理; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，E是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为F．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为( $\text{[math]}$ ，0)，点A关于y轴的对称点为B。以AB为一边向上作一个等边△ABC。

(1) 求点C的坐标。

(2) 求△ABC的周长和面积。

综合题普通

3. 如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动。若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：

(1) 经过6秒后，BP= cm，BQ=cm；

(2) 经过几秒后，△BPQ是直角三角形？

(3) 经过几秒△BPQ的面积等于 $\text{[math]}$ cm²?

综合题普通