等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点．

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1. 等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在 $\text{[math]}$ 中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知 $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为半圆弧上一动点．

(1) 如图1所示，若以 $\text{[math]}$ 为底边作 $\text{[math]}$ 的“沉毅三角形”，以 $\text{[math]}$ 为底边作 $\text{[math]}$ 的“朴实三角形”，请判断 $\text{[math]}$ 的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图2所示， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“沉毅三角形”，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，判断 $\text{[math]}$ 是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出 $\text{[math]}$ 的长度．

(3) 若分别以 $\text{[math]}$ 为底边作 $\text{[math]}$ 的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，分别求出点 $\text{[math]}$ 运动的路径长度．

【考点】

圆周角定理; 切线的判定与性质; 弧长的计算; 解直角三角形;

【答案】

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