请阅读材料并填空：如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接．

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1. 请阅读材料并填空：

如图1，在等边三角形 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数和等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长．

李明同学的思路是：

将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，画出旋转后的图形（如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 $\text{[math]}$ ° ，等边 $\text{[math]}$ 的边长为．

(2) 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：

如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 度数和正方形 $\text{[math]}$ 的边长．

(3) 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 正方形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，以点B为旋转中心，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ （点A ， O的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求：

(1) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 延伸迁移：如图②， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是三角形内一动点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

(1) 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外的一点，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的距离及 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图，已知等边 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 外部，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 内连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通