综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接．

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1. 综合实践：等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点D为线段 $\text{[math]}$ 上不与端点重合的一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 问题发现：如图1，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数__________；线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是__________．

(2) 类比探究：如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数及线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(3) 拓展延伸：如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题困难

1. （1）操作发现

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $\text{[math]}$ 的三个顶点均在格点上.现将 $\text{[math]}$ 绕点A按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图所示则 $\text{[math]}$ _______．

（2）解决问题

如图2，在等边 $\text{[math]}$ 内有一点P，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得出 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数和 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点，连结CD ，将线段CD绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转到CE ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的度数和.

解答题普通

3. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．

【问题初探】

（1）如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，求出图中线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

如图1，从条件出发：将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 位置，根据“旋转的性质”分析 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．

【类比分析】

（2）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【学以致用】

（3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ 的周长．

解答题困难