在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径是3．对于点P和 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：过点C的直线与 $\text{[math]}$ 交于不同的点M，N，如果点P为线段 $\text{[math]}$ 的中点，我们把这样的点P叫做关于 $\text{[math]}$ 的“弦中点”．

(1) 如图1，已知点 $\text{[math]}$ ；

①点 $\text{[math]}$ 中是关于 $\text{[math]}$ 的“弦中点”的是_________；

②若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上只存在一个关于 $\text{[math]}$ 的“弦中点”，求b的值；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ，点C在线段 $\text{[math]}$ 上运动，若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在关于 $\text{[math]}$ 的“弦中点”，直接写出m的取值范围．

【考点】

垂径定理; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. CD是以O为圆心AB为直径的半圆上的弦，E、F是弦CD上的点，线段BF与线段EO交于点G、与线段DO交于点H．

(1) 如图1，当点E为CD中点，点F与点C重合时，若tan∠DOB= $\text{[math]}$ ， CD=12，求EG；

(2) 如图2，当弦CD∥AB，AO=10，BH=7，HG= $\text{[math]}$ ，求OH：OG；

(3) 在（2）的条件下，若CD=16．

①求OE；

②求S_△GHO—S_△EFG ．

解答题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点E，弦 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 相等，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如果 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

3. 【定义】

定义1：在平面直角坐标系中，过一点作某一直线的垂线，这个点与垂足之间的线段长，称为这个点到这条直线的垂直距离．

定义2：在平面直角坐标系中，过一点作 $\text{[math]}$ 轴的平行线，与某一直线交于一点，两点之间连线的长度称为这个点到直线的竖直距离．

例如，如图1，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长度称为点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的垂直距离，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长就是点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的竖直距离．

【探索】

当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行时， $\text{[math]}$ ，

当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离 $\text{[math]}$ 与点到直线的竖直距离 $\text{[math]}$ 存在一定的数量关系，当直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ．

【应用】

如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高 $\text{[math]}$ ，现给该草坪洒水，已知小树的底端点 $\text{[math]}$ 与喷水口点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，建立如图3所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线 $\text{[math]}$ ，且恰好经过小树的顶端点 $\text{[math]}$ ，最远处落在草坪的 $\text{[math]}$ 处，

（1） $\text{[math]}$ ______．

（2）如图3，现决定在山上种另一棵树 $\text{[math]}$ （垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是多少？

【拓展】

（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与 $\text{[math]}$ 轴相切，若此时 $\text{[math]}$ ，如图，种植一棵树 $\text{[math]}$ （垂直于水平面），为了保证灌溉， $\text{[math]}$ 最高应为多少？

解答题困难