如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：

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1. 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．

求证：

(1) DE平分∠ADC；

(2) AD+BC=DC．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 梯形;

【答案】

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综合题普通

(1) 如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：△ABD≌△ACE DE=BD+CE

(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

综合题普通

2. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.

(1) 当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；

(2) 将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

综合题普通

3. 旋转变换是全等变换的一种形式，我们在解题实践中经常用旋转变换的方法来构造全等三角形来解决问题。

(1) 方法探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=45°

试探究线段BD、CE、DE可以组成什么样的三角形。我们可以过点B作BF⊥BC，使BF=EC，连接AF、DF，易得∠AFB=45°进而得到△AFB≌△AEC，相当于把△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB，请接着完成下面的推理过程：

∵△AFB≌△AEC，

∴∠BAF=，AF=AE，

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠CAE=，

∴∠BAF+∠BAD=45°，

∴∠DAF=45°=，

在△DAF与△DAE中，

AF=AE，

∠DAF=∠DAE，

AD=AD，

∴△DAF≌△DAE，

∴DF=，

∵BD、BF、DF组成直角三角形，

∴BD、CE、DE组成直角三角形.

(2) 方法运用

① 如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠EAF=45°试判断线段BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由。

② 如图③，在①的基础上若点E、F分别在BC和CD的延长线，其他条件不变，①中的关系在图③中是否仍然成立？若成立请说明理由；若不成立请写出新的关系，并说明理由。

综合题困难