如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

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1. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

(1) 操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边

上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是

②设△BDC的面积为S₁ ， △AEC的面积为S₂。则S₁与S₂的数量关系是.

(2) 猜想论证：当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想。

(3) 拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E(如图4)，若在射线BA上存在点F，使 $\text{[math]}$ ，请直接写出相应的BF的长.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转30°，得到 $\text{[math]}$ ，延长BC交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 试说明 $\text{[math]}$ 是等边三角形；

(2) 求DE的长.

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD，BE，延长BE交AD于点F．

(1) 求证：∠DEF=∠ABF；

(2) 求证：F为AD的中点；

(3) 若AB=8，AC=10，且EC⊥BC，求EF的长．

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°后，得到 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$

(1) 求证： △AED≌△AEF

(2) 猜想线段BE，ED，DC之间的关系，并证明

综合题普通