如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上，连接BE、DE，

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1. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上，连接BE、DE，

(1) 如图1，作EM⊥AB交AB于点M，当AE= $\text{[math]}$ 时，求BE的长；

(2) 如图2，作EG⊥BE交CD于点G，求证：BE=EG；

(3) 如图3，作EF⊥BC交BC于点F，设BF=x，△BEF的面积为y．当x取何值时，y取得最大值，最大值是多少？当△BEF的面积取得最大值时，在直线EF取点P，连接BP、PC，使得∠BPC=45°，求EP的长度．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图；分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．

(1) 设正方形ABDE的面积为 $\text{[math]}$ ，正方形BCFG的面积为 $\text{[math]}$ ，正方形ACHI的面积为 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ；

(2) 连接BI、CE，求证：EC＝BI；

(3) 过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．

综合题普通

2. 某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，且n＝2m﹣4，大正方形的面积为S.

(1) 求S关于m的函数关系式.

(2) 若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值.

综合题普通

3. 数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长 $\text{[math]}$ 的铁丝剪成两段．

(1) 把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于 $\text{[math]}$ ，应该怎么剪这根铁丝？

(2) 若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？

综合题普通