我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”。

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1. 我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”。

(1) 概念理解：如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形请说明理由。

(2) 问题探究：如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA'交直线BC于点D．若点B是△AA'C的重心，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 应用拓展：如图3．已知l₁∥l₂ ， l₁与l₂之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l₁上，点A在直线l₂上，有一边的长是BC的 $\text{[math]}$ 倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，AC所在直线交l₂于点D．求CD的值。

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理; 轴对称的性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是斜边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．

(1) 将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 旋转一周，请直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 距离的最大值和最小值；

(2) 将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ （如图 $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 在斜边 $\text{[math]}$ 上求作线段 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

3. 定义：有两条边长的比值为 $\text{[math]}$ 的直角三角形叫做“半生三角形”.如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平行AE交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是半生三角形吗？请判断：（填“是”或“否”）

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 是“半生三角形”；

(3) 当 $\text{[math]}$ 是“半生三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难