如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．

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1. 如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．

(1) 求AD的长．

(2) 点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．

【考点】

等腰三角形的判定; 相似三角形的判定与性质; 圆-动点问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

(1) 求证：△BEF∽△DCB；

(2) 当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm² ，求t的值；

(3) 当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．

综合题困难

2. 如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) ①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

(2) 如图2，旋转 $\text{[math]}$ ，使点D落在边BC上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，连结AO并延长交BC于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 是线段AD上的动点，连结BE并延长交分别交 $\text{[math]}$ 于点F，M，连结CM.

①当点E与 $\text{[math]}$ 垂合时（如图3），求证： $\text{[math]}$ ；

②在①的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求CM的长度；

③若AB=15，求 $\text{[math]}$ 的最大值，井写出此时 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难