如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

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1. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

(1) 求证：△BEF∽△DCB；

(2) 当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm² ，求t的值；

(3) 当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．

【考点】

等腰三角形的判定; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) ①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

(2) 如图2，旋转 $\text{[math]}$ ，使点D落在边BC上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 如图，已知线段AB＝6cm，过点B做射线BF且满足∠ABF＝40°，点C为线段AB中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y₁cm，BD的长度为y₂cm．（当点P与点B重合时，y₁与y₂的值均为6cm）

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y₁ ， y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1) 按照下表中自变量x （0≤x≤6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁ ， y₂与x的几组对应值：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y₁/cm	6.0	4.7	3.9	4.1	5.1	6.6	8.4
y₂/cm	6.0	5.3	4.7	4.2		3.9	4.1

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并画出y₁ ， y₂的图象；

(3) 结合函数图象解决问题：当△PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为cm；

(4) 当x＞6时，是否存在x的值使得△PDB为等腰三角形（填“是”或者“否”）．

综合题普通

3. 下图中，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，E为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图一，两个正方形边长的比值 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图二，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由；

(3) 如图三，延长 $\text{[math]}$ 至点M，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点P， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难