已知，如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN=45°.

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1. 已知，如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN=45°.

(1) 求证：MN=BM+DN.

(2) 若AM、AN交对角线BD于E、F两点，设BF=y，DE=x，求y与x的函数关系式.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG.

(1) 求证：AH=BE；

(2) ∠AGO的度数是否为定值？说明理由；

(3) 若∠OGC=90°，BG= $\text{[math]}$ ，求△OGC的面积.

综合题困难

2. 请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．

(1) 如图①，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F ，另一边交BA的延长线于点G.求证：EF＝EG；

(2) 如图②，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF＝EG(填“＝”或“≠”)；

(3) 运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB＝4，DG＝3，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. 如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．

(1) 连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；

(2) 当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．

综合题普通