如图是以为对角线的矩形和矩形，且平分 .

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1. 如图是以 $\text{[math]}$ 为对角线的矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .

(1) 连接 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ ；

(2) 尺规作图：作 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
①求证 $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

平行线的性质; 三角形全等的判定; 勾股定理; 矩形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），直线AB $\text{[math]}$ x轴，在矩形OCDE中，OC＝4，OE＝3，以点C在第一象限内直线AB上时为初始位置，将矩形OCDE以点O为中心逆时针旋转，旋转角为α.直线OC，直线DE分别与直线AB相交于点M，N.

(1) 如图1，当顶点D落在直线AB上时（此时点N与点D重合）.

①求证：△MAO≌△MCD；

②求点M的横坐标；

(2) 如图2，当顶点D落在y轴正半轴上时，请直接写出点M的横坐标；

(3) 在矩形OCDE旋转过程中，当0°＜α＜90°时，若AN＝3AM，请直接写出此时点M的横坐标.

综合题普通

2. 已知点F是等边△ABC的边BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与等边△ABC在BC的同侧，且CD∥AB，连结BE．

(1) 如图①，若AB=10，EF=8，请计算△BEF的面积；

(2) 如图②，若点G是BE的中点，连接AG、DG、AD．试探究AG与DG的位置和数量关系，并说明理由．

综合题困难

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，点A关于直线 $\text{[math]}$ 为对称点为 $\text{[math]}$ ，

(1) 点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上，求 $\text{[math]}$ 的长

(2) 点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ 的长，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难