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1. 如图，A、P、B、C是圆上的四点，∠APC =∠CPB = 60°， AP与CB的延长线相交于点D．

(1) 求证：△ABC是等边三角形；
(2) 若∠PAC= 90°，AB= ，求PD的长．
【考点】
圆周角定理; 锐角三角函数的定义;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上两点，且满足∠ACE=45°，过点E作⊙O的切线交CA的延长线于点D．

(1) 求证：DE//AB；
(2) 若cos∠CDE= ，AC=2，求⊙O的直径．
综合题 普通
2. 【问题学习】小芸在小组学习时间小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=  ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：

构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=  ，可设BC=x，则AB=3x，…．

(1) 【问题解决】

请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
(2) 如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=  ，求sin2β的值．
综合题 困难
3. 如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

(1) 求证：AC•CD=PC•BC；
(2) 当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．
综合题 普通