如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

1. 如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

(1) 求证：AC•CD=PC•BC；

(2) 当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．

【考点】

圆周角定理;

【答案】

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综合题普通

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求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB 于点D点；

②作射线MD．

证明：∵P、C、D都在⊙M上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝ $\text{[math]}$ ∠CMD（）（填推理依据）．

∴∠AMD ＝2∠P．

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