如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上.

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1. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上.

(1) 尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；

(2) 探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论.

【考点】

等腰三角形的性质; 圆周角定理; 尺规作图-作角的平分线; 三角形的中位线定理;

【答案】

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作图题普通

1. 如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图.（保留作图痕迹）

(1) 在图1中，画出∠DAE的平分线；

(2) 在图2中，画出∠AEC的平分线.

作图题普通

2. 《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B ，使B ， A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C ，使C ， B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D ，那么直线DB表示的方向为东西方向．

(1) 上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A ， B ， C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；

(2) 在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在△ABC中，BA＝ ▲ ， D是CA的中点，

∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．

∵直线DB表示的方向为东西方向，

∴直线CA表示的方向为南北方向．

作图题普通

3. 如图是由小正方形组成的 $\text{[math]}$ 网格，每个小正方形的顶点叫作格点 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ 的圆心在格点上，圆上 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1) 在图1中，点 $\text{[math]}$ 在圆上，请在直径 $\text{[math]}$ 下方的圆上画出点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；并在网格中找点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ．

(2) 在图2中， $\text{[math]}$ 为格点，在直径 $\text{[math]}$ 下方的圆上画出点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；并在线段 $\text{[math]}$ 上画出点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

作图题普通