如图，中，，AB的中垂线交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连结AE.

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1. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，AB的中垂线交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连结AE.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求AE的长.

【考点】

线段垂直平分线的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1) 概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

(2) 性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

(3) 问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

综合题普通

2. 我国古代数学名著《九章算术》“勾股”章中有一题：如图，正方形城邑 $\text{[math]}$ 的四面正中各有城门，出北门20步的 $\text{[math]}$ 处（ $\text{[math]}$ 步）有一树木，出南门14步到 $\text{[math]}$ 处（ $\text{[math]}$ 步），再向西行1775步到 $\text{[math]}$ 处（ $\text{[math]}$ 步），正好看到 $\text{[math]}$ 处的树木（点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上）．求正方形城邑 $\text{[math]}$ 的边长．

综合题普通

3. 如图，AE平分 $\text{[math]}$ ， D为AE上一点， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若D为AE中点， $\text{[math]}$ ，求CD的长．

综合题普通