性质探究

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1. 性质探究

(1) 如图①，在等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则底边 $\text{[math]}$ 与腰 $\text{[math]}$ 的长度之比为．

(2) 理解运用

若顶角为120°的等腰三角形的周长为 $\text{[math]}$ ，则它的面积为；

(3) 如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②在边 $\text{[math]}$ 上分别取中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

(4) 类比拓展

顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．

(1) 求证：AE=AF；

(2) 求证：BE= $\text{[math]}$ （AB+AC）．

综合题普通

2. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1) 小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

(2) 小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

综合题困难

3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°

(1) 在BC上作出点D ，使它到A ， B两点的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）

(2) 若BD＝6，求CD长．

综合题普通