如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接 .

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1. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 右侧），点 $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点.点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好旋转到点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(3) 如图2，过顶点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，点 $\text{[math]}$ 为垂足，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似（不含全等）.

①求出一个满足以上条件的点 $\text{[math]}$ 的横坐标；

②直接回答这样的点 $\text{[math]}$ 共有几个？

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 平行四边形的判定; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）.

(1) 求抛物线的表达式；

(2) P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

(3) 设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点， $\text{[math]}$ 为抛物线上不与 $\text{[math]}$ 重合的相异两点，记 $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 三点共线；

(3) 小明研究发现：无论 $\text{[math]}$ 在抛物线上如何运动，只要 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

综合题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过坐标原点O．

(1) 求抛物线解析式．

(2) 若B，C是抛物线上两动点，直线 $\text{[math]}$ 恒过点 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．

①若B、C两点关于y轴对称，求 $\text{[math]}$ 的值．

②求证：无论k为何值， $\text{[math]}$ 为定值．

综合题困难