如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣ ，0），直线BC的解析式为y＝﹣ x+2.

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1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ，0），直线BC的解析式为y＝﹣ $\text{[math]}$ x+2.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

(3) 将抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，已知点M为抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】

二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 平行四边形的判定; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0），交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF，CE交于点G．

(1) 求抛物线解析式；

(2) 求线段DF的长；

(3) 当DG= $\text{[math]}$ 时，

①求tan∠CGD的值；

②试探究在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使∠EDP=45°？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 已知抛物线y＝x²+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；

(3) 如图2，平移抛物线y＝x²+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点.

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，且经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的直线 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 若将抛物线 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴翻折，得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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