如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

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1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

(1) 当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

(2) 设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为 $\text{[math]}$ 时，求OA的长；

(3) 当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

【考点】

坐标与图形性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 直角三角形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的延长线交于点F，点G是边 $\text{[math]}$ 上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积

(2) 当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求所有满足要求的a值.

(3) 记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

①求y关于x的函数关系.

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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2. 在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项.

(1) 如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；

(2) 如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；

(3) 连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长.

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3. 矩形 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上， $\text{[math]}$ 交y轴于点E ，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长是方程 $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点B、C的坐标；

(2) 点F在边 $\text{[math]}$ 上，且F点的纵坐标是3，连接 $\text{[math]}$ ，过点F作直线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点G ，若矩形 $\text{[math]}$ 的面积等于66，双曲线 $\text{[math]}$ 的一个分支过点G ，求k的值；

(3) 在（2）的条件下，在直线 $\text{[math]}$ 上并且在直线 $\text{[math]}$ 的右侧是否存在点P ，使得以O、F、P为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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