如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上的一点，点F在AD的延长线上，且∠CEF=90°，EF交CD于H，分别过点F，点C作EC和EF的平行线，交于点G.

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1. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上的一点，点F在AD的延长线上，且∠CEF=90°，EF交CD于H，分别过点F，点C作EC和EF的平行线，交于点G.

(1) 证明：AE=CE；

(2) 证明：四边形ECGF是正方形；

(3) 若正方形ABCD的边长为 $\text{[math]}$ ，且BE=BC，求此时ΔEDF的面积.

【考点】

全等三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN ，连接EN、AM、CM ，

(1) 求证：△AMB≌△ENB；

(2) 当M点在何处时，AM +CM的值最小，并说明理由；

(3) 当M点在何处时，AM +BM +CM的值最小，并说明理由；

综合题普通

2. 问题：已知△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，连结CD，在CD的上测作以CD为底边，α为底角的等腰△CDE，连结AE，试探究BD与AE的数量关系．

(1) 尝试探究如图1，当α=60°时，小聪同学猜想有BD=AE，以下是他的思路呈现．请你根据他的思路把这个证明过程完整地表达出来；

(2) 特例再探如图2，当α=45°时，请你判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；

(3) 问题解决如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE的数量关系是．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

综合题困难

3. 如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

(1) 若AD=3 $\text{[math]}$ ，BE=4，求EF的长；

(2) 求证：CE= $\text{[math]}$ EF；

(3) 将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

综合题普通