如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.

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1. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.

(1) 求证：AE⊥BD；

(2) 若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长.

【考点】

勾股定理; 旋转的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，∠C=90°，则AC²+BC²＝AB² ．我们定义为“商高定理”。

(1) 如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝；

(2) 如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB²+CD²＝AD²+BC²；

(3) 如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE²的值．

综合题困难

2. 如图，杂技团演员在圆柱形场地表演荡秋千节目，小丑甲在 A 处坐上秋千，小丑乙在离秋千5m 的 B 处保护（即 BD=5 m）.

(1) 当甲荡至乙处时，乙发现甲升高了1 m ，于是他就算出了秋千绳索的长度，你知道他是怎么算的吗？请你试一试.

(2) 为了保证表演的安全性，要求秋千最大幅度的张角不能超过45°（张角指的是秋千绳索和铅垂方向的夹角），在（1）小题绳索长度不变的情况下，那么圆柱形场地的底面直径至少应该是多少m？

综合题普通

3. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，AB＝15cm，在顶点A处有一点P，在线段AC上以1cm/s的速度匀速运动至点C停止，在顶点C处有一点Q，以3cm/s的速度从点C出发沿C→B→C的路线匀速运动，两点同时出发，当点Q停止运动时，点P也随之停止运动.

(1) 求BC的长；

(2) 若两点运动4s时，求此时PQ的长；

(3) 设两点运动时间为t秒，当△PCQ是一个等腰直角三角形时，求t的值.

综合题普通