如图，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一个正方形A1B1C1D1 ，使点A1 ， D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在△BC1D1在截出第二个正方形A2B2C2D2 ，使点A2 ， D2分别在BC1 ， D1C1边上，边B2C2在BD1边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为．

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1. 如图，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一个正方形A₁B₁C₁D₁ ，使点A₁ ， D₁分别在AC，BC边上，边B₁C₁在AB边上；在△BC₁D₁在截出第二个正方形A₂B₂C₂D₂ ，使点A₂ ， D₂分别在BC₁ ， D₁C₁边上，边B₂C₂在BD₁边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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填空题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是 $\text{[math]}$ 的中点，点P，F在函数 $\text{[math]}$ 图象上，则点F的坐标是．

填空题容易

2. 如图，正方形ABCD的边长为4厘米，则图中阴影部分的面积为.

填空题容易

3. 如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC=度．

填空题容易

1. 如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝ $\text{[math]}$ ，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P ，连接PD、PE ，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q ，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为．

填空题困难

2. 如图.在边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、则 $\text{[math]}$ 的长为.

填空题困难

3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

填空题困难

1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 各边上分别截取 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .四边形 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. 3 C. 4 D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CDE= $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④

单选题困难

3. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，下列命题错误的是（）

A. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

单选题困难

1. 综合与实践：

(1) 【思考尝试】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为正方形；

(2) 【实践探究】小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系并说明理由；

(3) 【拓展迁移】小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并说明理由.

实践探究题困难

2. 如图 12，在正方形ABCD 中，点E是AB 边上一点，F为CE的中点，将线段AF绕点F顺时针旋转 90°至线段GF，连接CG.某数学学习小组成员发现线段CE与CG 之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究

【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：

	思路一	思路二
第一步	如图2，连接AG，AC，证明△ACG∽△AEF；	如图3，将线段CF绕点F逆时针旋转90°至HF，连接AH，证明△AFH≌△GFC；
第二步	利用相似三角形的性质及线段CE与EF之间的关系，得到线段CE与CG之间的数量关系.	利用全等三角形的性质及线段CE与AH之间的关系，得到线段CE与CG之间的数量关系.
图形表达

(1) ①在上述两种思路中，选样其中一种完成其相应的第一步的证明；
②写出线段CE与CG之间的数量关系式：

(2) 【深入探究】如图12，当点E与点 B不重合时，(1)中线段CE与CG之间的数量关系还成立

吗?若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由：

(3) 【拓展延伸】连接 AG，记正方形 ABCD 的面积为S₁ ， △AFG 的面积为S₂ ，当△FCG是直角三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值

实践探究题困难

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，

(1) 如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；

(2) 在（1）的条件下，

①如果正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

②正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时.直接写出线段AF的长.

综合题困难

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .以下结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确结论的个数为（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

单选题困难

2. 如图，在边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点（不与端点重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别交对角线 $\text{[math]}$ 于点P，Q.点E，F在运动过程中，始终保持 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .下列结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形；⑤若过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为H，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，其中所有正确结论的序号是.

填空题困难

3. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点E，过点P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于G，现有以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 为定值；⑤ $\text{[math]}$ .以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.

填空题困难