如图（1），在□ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA。（1）判断△APB是什么三角形？证明你的结论；（2）比较DP与PC的大小；（3）如图（2）以AB为直径作半圆O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD=5cm，AP=8cm，求证△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值。

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1. 如图（1），在□ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA。

（1）判断△APB是什么三角形？证明你的结论；
（2）比较DP与PC的大小；
（3）如图（2）以AB为直径作半圆O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD=5cm，AP=8cm，求证△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值。

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 【定义新知】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“勾股线”．

【初步探究】

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若点D，E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ 的“勾股线”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2，已知 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【问题解决】

（3）碳纤维板是将同一方向排列的碳素纤维使用树脂浸润硬化形成碳纤维板材，在多个领域都有应用，常用的有宇航、体育器材、工业、消防等．如图3，四边形 $\text{[math]}$ 是某机械厂的一块碳纤维板， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长．工人王师傅想要以 $\text{[math]}$ 为直角边、点F为直角顶点在这块碳纤维板中裁出一块直角三角形的部件 $\text{[math]}$ （点N在 $\text{[math]}$ 上）．

王师傅作法如下：在 $\text{[math]}$ 上确定一点M，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 即为所裁部件．判断王师傅裁出的 $\text{[math]}$ 部件是否符合要求（即 $\text{[math]}$ 是否是以点F为直角顶点的直角三角形），若符合要求，请你求出 $\text{[math]}$ 的值；若不符合要求，请说明理由，

解答题普通

3. 如图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合），点 $\text{[math]}$ 是夹子转轴位置， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 $\text{[math]}$ 转动．

（1）当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的距离最大值时，以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形的周长是 $\text{[math]}$ ．