如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．（1）求证：AE=CG；（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．

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1. 如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．

（1）求证：AE=CG；

（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．

【考点】

正方形的性质;

【答案】

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证明题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．

⑴在图1中画出以AB为边且周长为 $\text{[math]}$ 的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）；

⑵在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．

作图题容易

2. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，G是 $\text{[math]}$ 上的任意一点， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为．

填空题容易

1. 已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是边AD，CD上的点，且∠MBN=45°，连接MN。

求证：MN＝AM+CN.

证明题普通

2. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF．

（1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）

证明题普通

3. 如图，P为正方形ABCD对角线AC上一动点，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延长线于点G，连接CE和AG．

（1）求证：△ADG≌△CDE；

（2）当CE平分∠ACD时，求tan∠AGD．

证明题普通

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点分别在反比例函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象上，若 $\text{[math]}$ 轴，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为2，则 $\text{[math]}$ 的值为．

填空题普通

2. 如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A^'处，连接A^'C，则∠BA^'C=度．

填空题普通

3. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，线段 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

(1) 【新知探究】

对于正数 $\text{[math]}$ ，我们称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的算术平均数，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：

$\text{[math]}$ 的值	$\text{[math]}$ 的值	$\text{[math]}$ 的值
$\text{[math]}$	5	4
$\text{[math]}$	4	4
$\text{[math]}$	4	m
$\text{[math]}$	3	$\text{[math]}$

①表格中的 $\text{[math]}$ ▲ ；

②根据表格，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系（）；

A $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ C $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

③当 $\text{[math]}$ 满足条件： ▲ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 【理解应用】

①已知， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ▲ 时，代数式 $\text{[math]}$ 取得最大值是 ▲ ；

②如图1，已知，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值．

(3) 【拓展提升】

如图2，已知正方形ABCD的边长为4， $\text{[math]}$ 为CD边上的动点，PA交BD于 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交BC边于点 $\text{[math]}$ ，连AF交BD于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值是 ▲ ．

实践探究题困难

2. 如图1，点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 的延长线上任意一点，以线段 $\text{[math]}$ 为边作一个正方形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系：______， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系：______；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 如图2，正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之差；若变化，请说明理由．

解答题困难

3. 综合运用

如图1，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，点Q在线段 $\text{[math]}$ 上，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形（ $\text{[math]}$ 与A在 $\text{[math]}$ 的异侧），正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S．