定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形

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1. 定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形

(1) 求美角∠C的度数；

(2) 如图1，若⊙O的半径为2 $\text{[math]}$ ，求BD的长；

(3) 如图2，若CA平分∠BCD ，求证：BC+CD＝AC ．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题普通

1. 在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．

(1) 如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．

(2) 如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

(3) 如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．

综合题困难

2. 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．

(1) 如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；

(2) 如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF= $\text{[math]}$ AB；

(3) 如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF= $\text{[math]}$ （BE﹣CF）．

综合题普通

3. 我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1) 特例感知：

在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；

②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．

(2) 猜想论证：

在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

综合题困难