在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接、、．

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的另一侧作 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上任意一点，在射线 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ (不含边界)上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

【考点】

全等三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

(1) 操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

② 线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC的面积为S₁ ， △AEC的面积为S₂ ，则S₁与S₂的数量关系是．

(2) 猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

(3) 拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S_△_DCF=S_△_BDE ，请直接写出相应的BF的长．

综合题普通

2. 如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE=DF，AE=CF．

(1) 求证：△AFD≌△CEB；

(2) 若∠CBE=∠BAC，四边形ABCD是怎样的四边形？证明你的结论．

综合题普通

3. 小华对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究。

(1) (一)猜测探究线

在△ABC中，AB=AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB。

如图1，若Ｍ是线段BC上的任意一点，则∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是。

(2) 如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，则(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

(3) (二)拓展应用

如图3，在△A₁B₁C₁中，A₁B₁=8，∠A₁B₁C₁=90°，∠C₁=30°，点P是B₁C₁上的任意一点，连接A₁P，将A₁P绕点A₁按顺时针方向旋转60°，得到线段A₁Q，连接B₁Q。直接写出线段B₁Q长度的最小值。

综合题困难