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1. 如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．


(1) 求证：△ABC是等边三角形；
(2) 若∠PAC=90°，AB=2 ，求PD的长．
【考点】
等边三角形的判定与性质; 圆周角定理;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

(1) 求证：点E到AC的距离为一个常数；
(2) 若AD= ，当a=2时，求T的值；
(3) 若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．
综合题 普通
2. 已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

(1) 如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=；
(2) 如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
(3) 如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．
综合题 困难
3. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝∠CMD（   ）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．
综合题 普通