法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数.（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．

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1. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x²+y²=z²的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．

（1）请你再写出两组勾股数.

（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n²﹣1，z=n²+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．

【考点】

勾股数;

【答案】

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解答题普通

1. 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c

根据你发现的规律，请写出

（1）当a=19时，求b、c的值；

（2）当a=2n+1时，求b、c的值；

（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．

解答题普通

2. 观察下列勾股数：

①3、4、5，且3²=4+5；

②5、12、13，且5²=12+13；

③7、24、25，且7²=24+25；

④9，b，c，且9²=b+c；

…

（1）请你根据上述规律，并结合相关知识求：b，c等于多少？

（2）猜想第n组勾股数，并证明你的猜想．

解答题普通

3. 观察下表：

4	3	5	3²+4²=5²
6	8	10	6²+8²=10²
8	15	17	8²+15²=17²
10	24	26	10²+24²=26²
…	…	…	…
60	x	y	60²+x²=y²
…	…	…	…

（1）结合该表格及相关知识，求x，y；

（2）猜想第n行的三个数（用含n的式子表示），并证明它们是一组勾股数．

解答题普通