在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

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1. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：

(1) 设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；

(2) 是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．

【考点】

二次函数的最值; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．

(1) 求证：△CMN∽△BAM；

(2) 设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；

(3) 当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．

综合题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ），分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂线，交点为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是.

(2) 若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

(3) 在点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的整个运动过程中，若线段 $\text{[math]}$ 上存在唯一的一点 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

3. 某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN＝3 $\text{[math]}$ m ， AM＝10m ， ∠MAN＝45°），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，AB∥CD ， ∠C＝90°．设BC＝xm ，四边形ABCD面积为S（m²）．

(1) 求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；

(2) x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？

综合题普通