如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=﹣ x2+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．

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1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C₁：y=﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．

(1) 求抛物线解析式及C点坐标．

(2) 向右平移抛物线C₁ ，使平移后的抛物线C₂恰好经过△ABC的外心，抛物线C₁、C₂相交于点D，求四边形AOCD的面积．

(3) 已知抛物线C₂的顶点为M，设P为抛物线C₁对称轴上一点，Q为抛物线C₁上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 平行四边形的判定与性质; 平移的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y=ax²+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．

(1) 求抛物线对应的函数表达式；

(2) 经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；

(4) 当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．

综合题困难

2. 如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax²+ $\text{[math]}$ x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．

(1) 求二次函数的解析式；

(2) 证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；

(3) 在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．

①若直线l⊥BD，如图1，试求 $\text{[math]}$ 的值；

②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．

综合题普通

3. 已知，抛物线y＝ax²+ax+b（a≠0且a＜b）与x轴交于点A（1，0）．

(1) 求b与a的关系式及抛物线的顶点B所在象限；

(2) 点A关于y轴的对称点是点A′，将该抛物线沿着y轴向下平移2个单位长度得到一条新抛物线，若新抛物线经过点A′，求新抛物线对应的函数表达式．

综合题普通