如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE 上一点，连接CF

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1. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE

上一点，连接CF

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求EF的长；

(2) 如图2，若BC=EC ，过点E作EM⊥CF ，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N，若CM=MG，求证： $\text{[math]}$

【考点】

全等三角形的判定与性质; 勾股定理; 平行四边形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．

(1) 求证：△ADE≌△FCE．

(2) 若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．

综合题普通

(1) 问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；

(2) 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(3) 应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．

综合题普通

3. 在正方形ABCD中，连接BD．

(1) 如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．

(2) 如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．

(3) 如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

综合题困难