在平面内，为线段的中点，所有到点的距离等于的点组成图形，取的中点，过点作交图形于的点，在直线的上方，连接，．

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1. 在平面内， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，所有到点 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ 的点组成图形 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交图形 $\text{[math]}$ 于的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的上方，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求∠ABD 的度数；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 的公共点个数．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 切线的判定;

【答案】

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综合题普通

1. 已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．

(1) 若⊙O半径为3，求弦CD的长；

(2) 若∠ACB＋∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．

综合题普通

2. 已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

(1) 如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=；

(2) 如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

(3) 如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= $\text{[math]}$ ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

(1) 求证：点E到AC的距离为一个常数；

(2) 若AD= $\text{[math]}$ ，当a=2时，求T的值；

(3) 若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

综合题普通